Мартин Гарднер

Индукция и вероятность

Вселенная, насколько она нам известна,
устроена так, что истинное в каком-то одном
случае истинно во всех случаях некоторого
описания; трудность состоит лишь в том,
чтобы найти такое описание.

Джон С. Миль. "Система логики"

Представьте себе, что мы живем на ковре с необычайно сложным узором. Ковер может быть конечным, а может неограниченно простираться во все стороны. Одни фрагменты узора кажутся случайными, как абстрактная экспрессионистская живопись, другие - строго геометрические. Часть ковра может производить впечатление совершенно иррегулярной, но при рассмотрении ее в более широком обрамлении она оказывается фрагментом узора, обладающего тонкой симметрией.

Задача описания узора затрудняется тем, что ковер покрыт толстым слоем пластика, прозрачность которого меняется от точки к точке. В одних местах пластик совершенно прозрачен, и мы отчетливо различаем сквозь него узор; в других лишен прозрачности. Кроме того, лист пластика имеет переменную твердость. Где-то пластик можно соскоблить, отчего узор становится виднее, где-то он упорно сопротивляется всем попыткам сделать его более прозрачным. Свет, проходя сквозь лист пластика, преломляется самым причудливым образом, поэтому чем больше мы уменьшаем толщину пластика, тем сильнее трансформируется первоначальный узор. Повсюду-причудливая смесь порядка и беспорядка. Едва заметные решетки с изящными симметриями покрывают весь ковер, но как далеко простирается каждая из них, нам остается лишь догадываться. Неизвестно, сколь велика толщина пластика. Нам нигде не удается соскоблить его полностью и достичь поверхности ковра, если таковая существует.

Наша метафора завела нас слишком далеко по одной причине: узоры реального мира в отличие от узоров воображаемого ковра непрестанно меняются (ковер как бы скатывается с одного конца и развертывается с другого). Тем не менее в общих чертах сравнение с ковром позволяет продемонстрировать некоторые трудности, с которыми сталкиваются при попытке понять эффективность естественных наук те, кто занимается философией науки.

Индукция - это процедура, с помощью которой "ковроведы", изучая отдельные части ковра, пытаются догадаться, как выглядят еще не обследованные его участки. Предположим, что ковер покрыт миллиардами крохотных треугольников. Всякий раз, когда встречается синий треугольник, у него в одном из углов оказывается красное пятнышко. Просмотрев тысячи синих треугольников и убедившись, что они все до единого помечены красным пятнышком, "ковроведы" высказывают гипотезу, согласно которой красное пятнышко есть у всех синих треугольников. Каждый вновь наблюдаемый синий треугольник с красным пятнышком подтверждает замеченную ими закономерность. В отсутствие контрпримеров убеждение "ковроведов" в правильности открытой ими закономерности растет по мере того, как увеличивается число подтверждающих примеров.

Переход от "некоторых" синих треугольников ко "всем" синим треугольникам, разумеется, является нарушением логики. Работая в рамках дедуктивной системы, невозможно быть полностью уверенным в том, как выглядит еще не обследованная часть ковра. С другой стороны, индуктивные умозаключения позволяют получать правильные выводы, и философы по-разному пытаются обосновать индукцию. Джон С. Милль обосновывает индукцию ссылкой на регулярность узоров ковра. Он сознает, что в его рассуждениях содержится круг, так как заключение "ковроведов" о том, что ковер покрыт узором, сделано на основании неполной индукции. Однако Милль не считает этот круг порочным, и многие современные философы (я назову лишь двух из них - Р. Брейтуэйта и М. Блека) придерживаются такого же мнения. Бертран Расселл в своем последнем большом труде пытался заменить расплывчатый тезис Милля об однородности природы чем-то более точным. Он сформулировал 5 постулатов о структуре мира, достаточных, по его мнению, для обоснования индукции.

Ганс Рейхенбах предложил наиболее известное из нескольких прагматических обоснований. По мнению Рейхенбаха, если и существует какой-то способ догадываться о том, как выглядят недоступные наблюдению части ковра, то это индукция. Если отказывает индукция, то отказывает и все остальное, поэтому естественные науки должны использовать единственное средство познания окружающего мира, которым они располагают. "Такой ответ не содержит в себе логического противоречия, - пишет Расселл, - но не могу сказать, чтобы он казался мне весьма удовлетворительным".

Такого же мнения придерживается и Рудольф Карнап. Он считает, что все способы обоснования индукции логически корректны, но тривиальны. Если под "обоснованием" понимать то, как мы "обосновываем" математическую теорему, то прав Давид Юм: никакого обоснования не существует. Если же "обоснование" понимать в более слабом смысле, причем не в одном, а в нескольких вариантах, то, разумеется, обоснование (неполной) индукции можно отстаивать. Более интересная задача, подчеркивает Карнап, состоит в том, чтобы выяснить, возможно ли построить индуктивную логику.

Построение индуктивной логики было надеждой и мечтой Карнапа. Он предвидел такое развитие науки в будущем, при котором ученый, работающий в области естественных наук, сможет излагать гипотезу вместе со всеми имеющимися у него экспериментальными или наблюдательными данными на формализованном языке. Затем, используя индуктивную логику, исследователь сможет сопоставить своей гипотезе некоторую вероятность, называемую степенью подтверждения. Значение этой вероятности не может быть окончательным или заданным раз и навсегда: оно может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменным по мере накопления новых данных. Карнап считает, что представители естественных наук уже мыслят в терминах индуктивной логики, но в терминах расплывчатых, не формулируя их явно. Однако по мере усовершенствования средств научного исследования значение степени подтверждения становится известным со все большей точностью. Возможно, что в конце концов нам удастся создать своего рода индуктивный анализ, который будет иметь практическое значение, облегчая нескончаемый поиск законов природы.

В своем труде "Логические основания теории вероятностей" (Carnap R. Logical Foundations of Probability.- University of Chicago Press, 1950) и в последующих работах Карнап пытался заложить основы индуктивной логики. Насколько ему удалось осуществить свой замысел, вопрос спорный. Некоторые философы (например, Дж. Кемени) разделяют взгляды Карнапа и продолжают развивать избранный им подход. Другие (главным образом К. Поппер и Т. Кун) рассматривают весь проект как основанный на недоразумении.

Один из почитателей Карнапа К. Гемпель разумно заметил, что прежде чем мы попытаемся приписать подтверждениям какие-нибудь количественные величины, нам необходимо на качественном уровне понять, что именно следует понимать под "подтверждающим наблюдением". Именно здесь, при попытке придать точный смысл этому выражению, мы и сталкиваемся с наиболее серьезными трудностями.

Рассмотрим знаменитый парадокс Гемпеля о воронах.

Мы попытаемся пояснить суть этого парадокса с помощью 100 игральных карт. На рубашке (оборотной стороне) некоторых из них нарисована ворона. Гипотеза, которая подлежит проверке, состоит в утверждении: "Все карты, на которых нарисованы вороны, черной масти". Вы перетасовываете всю колоду и раскладываете карты вверх картинкой (лицевой стороной). После того как вы выложите 50 карт и не обнаружите ни одного контрпримера, гипотеза, очевидно, станет для вас более правдоподобной. По мере того как все больше карт с воронами на рубашке будет выложено вверх картинкой и окажутся черной масти, степень подтверждения будет стремиться к 1 (достоверности) и, наконец, может стать равной 1.

Сформулируем ту же гипотезу иначе: "Все карты нечерной масти - не вороны (то есть на их рубашке не изображена ворона)". Это утверждение логически эквивалентно исходному. Если вы проверите истинность нового утверждения на другой перетасованной колоде из 100 карт, держа их вверх картинкой и переворачивая поочередно, то всякий раз, выкладывая на стол карту нечерной масти и не обнаружив на рубашке нарисованную ворону, вы тем самым подтверждаете свою гипотезу о том, что все карты нечерной масти "не вороны". Так как ваша гипотеза логически эквивалентна гипотезе "Все карты черной масти - вороны", то вы подтверждаете и эту, эквивалентную, гипотезу. Выложив на стол все карты и не обнаружив ни одной карты красной масти с вороной на рубашке, вы полностью подтвердите гипотезу о том, что все карты с вороной на рубашке черной масти.

К сожалению, изложенная выше процедура неприменима к реальному миру, где она просто "не работает". Утверждение "Все вороны черные" логически эквивалентно утверждению "Все нечерные предметы - не вороны". Мы оглядываемся вокруг и замечаем какой-то желтый предмет. Ворона ли это? Нет, это масленка. Цветок заведомо подтверждает (хотя и слабо), что все нечерные предметы не вороны, однако трудно понять, какое отношение и масленка, и цветок имеют к утверждению "Все вороны черные". Если все это имеет отношение, то одновременно подтверждается, что все вороны белые или любого другого цвета, кроме желтого. Ситуация еще более усугубляется тем, что утверждение "Все вороны черные" логически эквивалентно утверждению "Любой предмет либо черный, либо не ворона". И это подтверждается любым черным предметом (будь то ворона или не ворона) или любой не вороной (как черной, так и нечерной). И то, и другое представляется абсурдным.

Не меньшей известностью пользуется парадокс Нелсона Гудмана о "зелубом" цвете. Предмет считается "зелубым", если он имеет зеленый цвет, например, до 1 января 2000 г., а затем становится голубым. Подтверждается ли закономерность "Все изумруды зелубые" наблюдением зеленых изумрудов? Некий пророк предвещает, что конец света наступает 1 января 2000 г. Казалось бы, каждый день существования мира подтверждает предсказание пророка, однако никто не считает, что от этого оно становится более вероятным.

Ситуация еще более усугубляется тем, что существуют случаи, когда подтверждения делают гипотезу менее вероятной. Предположим, что вы выкладываете на стол карты из тщательно перетасованной колоды и переворачиваете их, чтобы подтвердить гипотезу, согласно которой карт зеленой масти не существует. Первые 10 карт оказываются обычными игральными картами, но затем вы неожиданно обнаруживаете карту синей масти. Это - одиннадцатый подтверждающий случай, но теперь ваша уверенность в правильности исходной гипотезы сильно поколеблена. Пол Бернет привел еще несколько аналогичных примеров. Предположим, что обнаружен человек ростом 29 м 70 см. Сообщение о таком человеке является подкрепляющим примером для гипотезы "Все люди ростом меньше 30 м", тем не менее обнаружение такого человека ослабляет гипотезу. Обнаружение человека нормальных размеров в невероятном месте (например, на спутнике Сатурна Титане) - еще один пример подтверждающего наблюдения, ослабляющего ту же гипотезу.

Подтверждения могут даже привести к опровержению гипотезы. Предположим, что 10 карт всех значений от туза до десятки перетасованы и выложены в ряд вверх рубашкой. Гипотеза состоит в том, что ни одна карта со значением n не находится на n-м месте от левого конца ряда. Вы переворачиваете первые 9 карт. Каждая перевернутая вами карта подтверждает гипотезу. Но если ни одна из 9 перевернутых карт не является десяткой, то, взятые вместе, эти 9 карт опровергают гипотезу.

А вот еще один пример. На столе 2 кучки по 3 карты в каждой. В одной из кучек валет, дама и король червей, в другой - валет, дама и король треф. Обе кучки тщательно перетасованы. Смит вытягивает одну карту из червовой кучки. Джонс одну карту из трефовой кучки. Гипотеза состоит в том, что пара выбранных карт состоит из дамы и короля. Вероятность этого равна 2/9. Взглянув на свою карту, Смит видит, что вытащил короля. Не называя вытянутую им карту, Смит заявляет, что извлек карту, подтверждающую гипотезу. Почему? Как показывает вычисление условной вероятности, если Смиту известно, что он вытянул короля, то вероятность того, что гипотеза верна, повышается с 2/9 до 3/9 (= 1/3). Но теперь Джонс видит, что он (Джонс) извлек короля, и делает заявление, аналогичное заявлению Смита. Каждая карта в отдельности является подтверждающим примером. Взятые же вместе, карты опровергают гипотезу.

Карнап сознавал, что такого рода трудности существуют. Он проводил четкое различие между "степенью подтверждения" - величиной вероятности, получаемой на основе всех имеющихся данных, и тем, что он называл "значимостью подтверждения", учитывающей, как новые наблюдения изменяют оценку подтверждения. Значимость подтверждения не сводится к вероятностям. Это гораздо более сложная характеристика, включающая множество аргументов, противоречащих интуиции. В гл. 6 своих "Логических оснований" Карнап анализирует группу тесно связанных между собой парадоксов значимости подтверждения, легко моделируемых с помощью игральных карт.

Например, может представиться такой случай, когда данные подтверждают каждую из двух гипотез в отдельности, но не подтверждают те же две гипотезы, взятые вместе. Рассмотрим 10 карт, половина из которых с синими рубашками, половина - с зелеными. Предположим, что зеленые рубашки имеют следующие карты: червовая дама, червовая десятка, червовая девятка, король пик и пиковая дама, а синие рубашки - король червей, червовый валет, десятка пик, девятка пик и восьмерка пик. Перетасуем эти 10 карт тщательно и выложим их в ряд вверх рубашкой.

Гипотеза А состоит в утверждении, что свойство быть картой "с картинкой" (королем, дамой или валетом) в большей степени присуще картам с зеленой рубашкой, чем картам с синей рубашкой. Как показывает простая проверка, из 5 карт с зеленой рубашкой 3 карты с картинкой, тогда как из 5 карт с синей рубашкой картинку имеют только 2 карты. Гипотеза В состоит в утверждении, что свойство быть картой красной масти (бубновой или червовой) также в большей степени присуще картам с зеленой рубашкой, чем картам с синей рубашкой. Вторая проверка подтверждает эту гипотезу: среди карт с зелеными рубашками имеются 3 карты красной масти, а среди карт с синими рубашками - только 2. Интуитивно кажется, что свойство одновременно быть картой красной масти и картой с картинкой в большей мере присуще картам с зеленой рубашкой, чем картам с синей рубашкой, но это не так: только одна карта красной масти с картинкой имеет зеленую рубашку, в то время как среди карт с синими рубашками таких карт две!

Нетрудно придумать сценарии как фантастические, так и реалистические, по которым могут возникать аналогичные ситуации. Некая женщина хочет выйти замуж за человека, который был бы богат и добр. Среди ее знакомых есть лысые холостяки и холостяки с пышной шевелюрой. Будучи по профессии статистиком, наша дама производит выборочную инспекцию. Проект А устанавливает, что богаты 3/5 холостяков с шевелюрой и только 2/5 лысых холостяков. Проект В обнаруживает, что добры 3/5 холостяков с шевелюрой и только 2/5 лысых холостяков. Действуя опрометчиво, наша героиня могла бы прийти к поспешному выводу о том, что ей следует вьшти замуж за холостяка с пышной шевелюрой, но если распределение качеств соответствует распределению карт с картинкой и карт красной масти из предыдущего примера, то ее шансы выйти замуж за богатого и доброго человека были бы вдвое выше, сделай она ставку на лысых женихов.

В рамках другого исследовательского проекта установлено, что 3/5 пациентов, принимавших некоторое лекарство, сохраняют иммунитет к простудным заболеваниям на протяжении 5 лет по сравнению с 2/5 членов контрольной группы, получавшими вместо лекарства плацебо (* Физиологически нейтральное вещество, неотличимое по виду от лекарственного препарата. Прим. перев.). Второй проект показал, что 3/5 пациентов, получавших некоторое лекарство, обрели иммунитет к кариесу зубов на 5 лет по сравнению с 2/5 членов контрольной группы, получавших плацебо. Объединенная статистика могла бы в этом случае показать, что доля тех, кто приобрел на 5 лет иммунитет к простудным заболеваниям и кариесу, среди получавших плацебо вдвое выше, чем среди получавших лекарство.

Удивительным примером того, как гипотеза может подтверждаться двумя независимыми исследованиями и опровергаться совместными результатами, может служить следующая игра. Ее можно моделировать с помощью игральных карт, но для разнообразия мы воспользуемся 41 фишкой для игры в покер и 4 шляпами. На столе А в черной шляпе лежат 5 цветных и 6 белых фишек. Рядом, в серой шляпе, лежат 3 цветные и 4 белые фишки. На столе Б в черной шляпе лежат 6 цветных и 3 белых фишки, а в серой шляпе-9 цветных и 5 белых фишек.

Вы подходите к столу А с намерением вытянуть цветную фишку. Из какой шляпы вам следует ее извлечь: из черной или из серой? В черной шляпе 5 из 11 фишек цветные, поэтому вероятность извлечь цветную фишку из черной шляпы равна 5/11. Это больше, чем 3/7 - вероятность извлечь цветную фишку из серой шляпы. Ясно, что, выбрав черную шляпу, вы имеете больше шансов вытащить цветную фишку.

На столе Б вам также выгоднее выбрать черную шляпу: в ней 6 из 9 фишек цветные, поэтому вероятность извлечь из нее цветную фишку составляет 6/9 (= 2/3). Это больше, чем вероятность 9/14 извлечь цветную фишку из серой шляпы.

Предположим теперь, что фишки из двух черных шляп на столах А и Б сложены в одну черную шляпу, а фишки из двух серых шляп - в одну серую шляпу (стол В). Если вы захотите извлечь цветную фишку, то скорее всего выберете черную шляпу. Самое удивительное состоит в том, что ваш выбор неверен! Теперь в черной шляпе из 20 фишек цветных 11, поэтому вероятность извлечь цветную фишку из черной шляпы равна 11/20, в то время как вероятность извлечь цветную фишку из серой шляпы равна 12/21, что больше 11/20.

К. Блай, обнаруживший эту ситуацию в работе Э. Симпсона, опубликованной в 1951 г., назвал ее парадоксом Симпсона. В действительности парадокс оказался более старым, но название сохранилось. Нетрудно видеть, каким образом парадокс Симпсона мог бы возникнуть в реальном исследовании. Например, в двух сериях испытаний, проводимых независимо друг от друга, могли бы быть получены данные, позволяющие полагать, что некоторый лекарственный препарат оказывает на мужчин более сильное действие, чем на женщин, в то время как совместные данные привели бы к обратному выводу.

Кому-нибудь из читателей, возможно, покажется, что подобного рода ситуации носят слишком искусственный характер, чтобы их можно было встретить в реальном статистическом исследовании. Однако парадокс Симпсона действительно встретился в одном статистическом исследовании, недавно проведенном с целью выяснения, не отдается ли при отборе кандидатов в аспирантуру при Калифорнийском университете в Беркли преимущество представителям одного пола перед другим. (Результаты этого исследования подробно изложены в Bickel P. J., Hammel E. A., O'Connell J. W. Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley. - Science, February 1985, 187, p. 398-404.)
   Блай придумал еще один парадокс, поверить в который еще труднее, чем в парадокс Симпсона. Парадокс Блая можно моделировать с помощью 3 наборов игральных карт или 3 специальным образом изготовленных ("мошеннических") игральных костей с определенным распределением вероятностей выпадения граней. Мы будем моделировать парадокс Блая с помощью 3 волчков, изображенных на рисунке, их легко изготовить каждому, кто вздумает проверить этот парадокс экспериментально.

Парадокс К. Блайта с тремя волчками.

Волчок А с неразделенной круговой шкалой - самый простой. Независимо от того, где останавливается стрелка, он порождает одну и ту же величину, равную 3. Волчок Б порождает значения 2, 4 или 6 с вероятностями 0,56; 0,22 и 0,22. Волчок В порождает значения 1 или 5 с вероятностями 0,51 и 0,49.

Вы выбираете один волчок, а ваш приятель - другой. Каждый из вас запускает стрелку, и тот, у кого стрелка покажет на большее число, считается выигравшим. Предположим, что позднее, когда вы наберетесь опыта, вам предоставится возможность сменить волчок. Какой волчок вам следовало бы выбрать? Если сравнивать волчки попарно, то мы обнаружим, что А выигрывает у Б с вероятностью 1 х 0,56 = 0,56; А выигрывает у В с вероятностью 1 х 0,51 = 0,51 и Б выигрывает у В с вероятностью (1 х 0,22) + (0,22 х 0,51) + (0,56 х 0,51) = 0,6178. Ясно, что лучше всего выбрать волчок А, позволяющий получить более высокий результат, чем 2 других волчка с вероятностью, превышающей 1/2. Наихудший выбор-волчок В, так как с вероятностью, превращающей 1/2, он дает менее высокие результаты, чем волчки А и Б.

А теперь о самом главном. Предположим, что вы играете с двумя партнерами и что вам предоставлено право первым выбрать волчок. Затем все три волчка запускаются, и тот из игроков, у кого стрелка волчка покажет на наибольшее число, объявляется победителем. Вычисление вероятностей выпадения различных чисел обнаруживает необычайный факт. Наихудшим выбором является волчок А, наилучшим - волчок В. Волчок А обеспечивает выигрыш с вероятностью 0,56 х 0,51 = 0,2856, то есть меньше 1/3. Волчок Б обеспечивает выигрыш с вероятностью (0,44 х 0,51) + (0,22 х 0,49) = 0,3322, то есть почти 1/3. Наконец, волчок В обеспечивает выигрыш с вероятностью 0,49 х 0,78 = 0,3822, или чуть больше 1/3.

Задумаемся над тем, к каким разрушительным последствиям для статистических исследований приведет парадокс Блая. Предположим, что лекарства от некоторой болезни по эффективности подразделяются на 6 категорий, которым мы сопоставим числа от 1 до 6 (большее число соответствует более высокой эффективности). Лекарство А равномерно эффективно и оценивается 3 баллами (волчок А). Эффективность лекарства В варьируется со временем: на протяжении 0,51 времени испытания его эффективность оценивается 1 баллом, а 0,49 времени-5 баллами (волчок В). Если фармацевтическая промышленность выпускает только лекарства А и В и врач желает максимизировать шансы пациента на выздоровление, то он, очевидно, отдаст предпочтение лекарству А.

А что произойдет, если в аптеке появится препарат Б с распределением вероятностей, соответствующим волчку Б? Сбитый с толку врач, встав перед проблемой выбора одного из трех лекарств, отдаст предпочтение лекарству В перед лекарством А.

Блай изыскал способ еще сильнее драматизировать свой парадокс. Представим себе, что некий статистик каждый вечер обедает в ресторане, в котором посетителю предлагают на десерт яблочный пирог и вишневый пирог. Свои оценки от дегустации того и другого пирога статистик выставляет по шестибалльной системе - от 1 до 6. Яблочный пирог неизменно удостаивается одной и той же оценки в 3 балла (волчок А). Оценки вишневого пирога варьируются так же, как показания стрелки волчка В. Естественно, что ваш статистик всегда выбирает яблочный пирог.

Изредка в меню ресторана появляется пирог с черникой. Выставляемые статистиком оценки варьируются так же, как показания стрелки волчка Б. Между официанткой и статистиком происходит следующий разговор:
Официантка. Принести вам яблочный пирог?
Статистик. Нет. Я вижу, у вас сегодня пирог с черникой. Принесите мне лучше вишневый пирог.

Официантка скорее всего воспримет такой ответ как шутку, хотя в действительности статистик действует вполне рационально, пытаясь максимизировать свою среднюю оценку (так называемое математическое ожидание оценки). (Ошибка! См. "Дополнение".) Разве существует еще какой-нибудь парадокс, который более наглядно продемонстрировал бы, какие трудности необходимо преодолеть последователям Карнапа, чтобы продвинуться на пути к реализации его программы?

Дополонение

Многие читатели совершенно справедливо упрекнули меня за небрежность, допущенную при описании парадокса К. Блая о статистике и трех пирогах. Утверждение о том, что статистик пытался максимизировать математическое ожидание оценки (то есть среднюю оценку), принадлежит мне, а не Блаю. По словам Блая, статистик максимизировал свой шанс получить самый вкусный пирог. Различие между тем и другим тонкое, но существенное. И врач, и статистик стоят перед выбором: максимизировать свою среднюю оценку в длинной серии испытаний или свой шанс получить самый вкусный пирог либо наиболее эффективное лекарство в данном конкретном случае.

Сформулируем ту же мысль несколько иначе. Любитель пирогов из парадокса Блая минимизирует свое сожаление по поводу неудачного выбора пирога: вероятность увидеть на чужом столе пирог лучшего качества, чем на своем собственном. Его медицинский двойник, как подсказывает П. Черник, стремится избежать неприятного поворота в развитии событий, когда неудовлетворенный пациент обращается к другому врачу и получает более эффективное решение. "К кому ближе физик, работающий в лаборатории, - спрашивает Дж. Мавродес, - к тому, кто запускает волчки в парадоксе Блая, или к статистику, так любящему пироги?.. Я не знаю ответа на этот вопрос".

Дж. Гамильтон мл. предложил свою версию диалога между статистиком и официанткой:
Официантка. Какой пирог вы предпочитаете выбрать сегодня - А или Б?
Статистик. Ставлю на А.
Официантка. А как насчет шансов А и В?
Статистик. Ставлю на А.
Официантка. Я вижу, что вы решительно предпочитаете пирог А всем остальным. Статистик. Ничего подобного. В действительности наибольшая вероятность быть самым вкусным пирогом у В.
Официантка. Пошутили и хватит. Какой пирог вы хотите заказать - А или В?
Статистик. Ни тот, ни другой. Принесите мне, пожалуйста, кусочек пирога Б.

Парадоксы подтверждения не являются, конечно, парадоксами в смысле противоречий. Перед нами парадоксы в более широком смысле - результаты и ситуации, противоречащие интуиции и делающие бессмысленными первые попытки Дж. Милля и других авторов дать определение того, что надлежит понимать под "подтверждающим примером". Философы, занимающиеся изучением парадоксов, знают о статистической теории отнюдь не понаслышке. Именно потому, что статистическая теория требует проведения столь многих тонких различий, задача формулировки индуктивной логики сопряжена со столь большими трудностями.

Р. Джеффри приводит в своей "Логике принятия решений" ( Jeffrey R. С. The Logic of Decision Making. - University of Chicago Press, 2d ed., 1983.) забавный вариант парадокса Гудмана о "зелубом" цвете. Назовем "дальчиком" любую девочку, родившуюся до 2000 г., или любого мальчика, родившегося после 2000 г., и "мевочкой" - любого мальчика, родившегося до 2000 г., или любую девочку, родившуюся после 2000 г. До сих пор все дальчики были женского пола, а все мевочки - мужского. Следовательно, рассуждая по индукции, мы приходим к заключению о том, что (А) первый дальчик, родившийся после 2000 г., будет женского пола и (Б) первая мевочка, родившаяся после 2000 г., будет мужского пола. Но первый дальчик, который родится после 2000 г., будет мальчиком, что противоречит выводу (А). Аналогичным образом первая девочка, которая родится после 2000 г., будет девочкой, что противоречит выводу (Б).