В начале 20 столетия в среде математиков бытовало мнение, что невозможно построить пандиагональный магический квадрат нечетного порядка, кратного трем. Это – порядки 9, 15, 21, 27, … . Однако, работы A.Margossian (Франция) и J.R. Hendricks (Канада) опровергли ложную гипотезу

( см.: http://members.shaw.ca/johnhendricksmath/ ,

http://www.magic-squares.de/magic.html

http://en.wikipedia.org/wiki/John_R._Hendricks

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html ).

Они дали примеры пандиагональных квадратов 9-го, 15-го и 21-го порядков.
Тем не менее, ни Хендриксу, ни Маргассиану не удалось построить одновременно пандиагональные и ассоциативные квадраты – так называемые идеальные магические квадраты.
Термин “идеальный магический квадрат“ впервые встречается у Г.Александрова* и Н.Макаровой**, и обозначает квадратную матрицу n×n, заполненную цифрами от 1 до n2 . Соблюдены условия: 1) сумма в каждой строке, в каждом столбце и в каждой ломаной диагонали (включая главные) постоянна и равна магической сумме M ; 2) любая пара центрально противолежащих чисел дает в сумме число A=1+n2. Иными словами, идеальный магический квадрат – это такой пандиагональный квадрат, у которого M=0,5·n·A.
Идеальные магические квадраты бывают только нечетного порядка, начиная с n=5.
Общий метод построения идеальных магических квадратов был получен лишь в конце 2007 года Г.Александровым. Для практических расчетов им же предложен способ построения особой последовательности чисел от 1 до n, при которой однозначно находится идеальный магический квадрат любого наперед заданного нечетного порядка n. Эта последовательность оформлена в виде обычной процедуры-функции, которую можно легко реализовать в любом языке программирования. Начальные цепи Александрова:


1 5 2 3 4

1 7 3 6 4 2 5

1 9 3 6 2 5 8 4 7

1 11 3 4 2 5 6 7 10 8 9

1 13 3 6 2 5 4 7 10 9 12 8 11

1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13

1 17 3 6 2 5 7 4 8 9 10 14 11 13 16 12 15

1 19 3 6 2 5 7 4 8 9 10 11 12 16 13 15 18 14 17

1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19

И так далее

При таком подходе число 1 в идеальном магическом квадрате располагается строго над центральной ячейкой. Далее делаем два шага вправо и один шаг вниз. Записываем второе число цепи. И так долее по достижении n ходов. После этого производим спуск через строку и начинаем новые n ходов, заполняя ячейки числами, пропорциональными цепи Александрова. Например:

Цепь Александрова

1 5 2 3 4

____________



4 23 7 15 16

12 20 1 24 8

21 9 13 17 5

18 2 25 6 14

10 11 19 3 22



После числа 4 делаем скачек вниз через строку и вычисляем:

(5'-1)· n + 1' = 21 , где числа с апострофом – это элементы цепи Александрова.

В общем, метод похож на способ террас, но только ходы делаются не по диагоналям, а чуточку сложнее.

Эту интереснейшую информацию я почерпнул из статьи в Википедии "http://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат"
и ссылок [10]-[15], [18],[20]-[22]

------------------------------
*http://renuar911.narod.ru/IMS-D.html

** http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

Здравствуйте! Очень интересный материал, большое спасибо. Меня впечатлила статья, ссылку на которую приводит Александров, что магические квадраты применяют в жидко-кристаллических телевизорах:
http://www.stereo.ru/whatiswhat.php?article_id=254

"Для гладкой передачи серой шкалы требуется 1024 градации, обеспечиваемые 10-битным преобразованием. Однако в ЖК-панелях используется только 8-битное преобразование, которое обеспечивает всего 256 градаций серого. Для увеличения градаций в панелях Toshiba используется принцип временной модуляции засветки пикселей. Идея основана на способности человеческого глаза интегрально оценивать последовательность коротких вспышек света. Если сначала глаз видит четыре вспышки одного или группы пикселей, затем две и, наконец, одну, то он воспринимает их не раздельно, а как изменение яркости источника. Уменьшение числа импульсов вдвое приводит к кажущемуся двукратному уменьшению яркости. Увеличение градаций серой шкалы с помощью подобного алгоритма происходит благодаря увеличению или уменьшению времени свечения пикселей. Так называемый «магический квадрат» образует группа из 16 пикселей (квадрат 4 на 4), в котором в каждый момент времени (с интервалом 1/60 с для NTSC) зажигается одно и то же число разных пикселей по горизонтали, вертикали и диагонали (см. рис. 1). Благодаря временной модуляции свечения каждого пикселя в этом квадрате алгоритм позволяет учетверить число градаций, подняв их число с восьмибитных 256 до десятибитных 1024. При этом надо еще учесть, что увеличение до 1024 градаций происходит для каждого из первичных цветов (красного, синего и зеленого), что дает в итоге более 1,07 млн. цветов и оттенков. Это обеспечивает плавные цветовые переходы, полностью устраняя видимые границы на больших однотонных полях изображения".

С Наступающим Новым Годом!

		Random писал(а): Здравствуйте! Очень интересный материал, большое спасибо. Меня впечатлила статья, ссылку на которую приводит Александров, что магические квадраты применяют в жидко-кристаллических телевизорах: http://www.stereo.ru/whatiswhat.php?article_id=254 "Для гладкой передачи серой шкалы требуется 1024 градации, обеспечиваемые 10-битным преобразованием. Однако в ЖК-панелях используется только 8-битное преобразование, которое обеспечивает всего 256 градаций серого. Для увеличения градаций в панелях Toshiba используется принцип временной модуляции засветки пикселей. Идея основана на способности человеческого глаза интегрально оценивать последовательность коротких вспышек света. Если сначала глаз видит четыре вспышки одного или группы пикселей, затем две и, наконец, одну, то он воспринимает их не раздельно, а как изменение яркости источника. Уменьшение числа импульсов вдвое приводит к кажущемуся двукратному уменьшению яркости. Увеличение градаций серой шкалы с помощью подобного алгоритма происходит благодаря увеличению или уменьшению времени свечения пикселей. Так называемый «магический квадрат» образует группа из 16 пикселей (квадрат 4 на 4), в котором в каждый момент времени (с интервалом 1/60 с для NTSC) зажигается одно и то же число разных пикселей по горизонтали, вертикали и диагонали (см. рис. 1). Благодаря временной модуляции свечения каждого пикселя в этом квадрате алгоритм позволяет учетверить число градаций, подняв их число с восьмибитных 256 до десятибитных 1024. При этом надо еще учесть, что увеличение до 1024 градаций происходит для каждого из первичных цветов (красного, синего и зеленого), что дает в итоге более 1,07 млн. цветов и оттенков. Это обеспечивает плавные цветовые переходы, полностью устраняя видимые границы на больших однотонных полях изображения". С Наступающим Новым Годом!

Спасибо, Random! Вас также с Новым 2008 годом!
Рад, что прочитал и оценил материал. Меня тоже потрясла эта ссылка. Впервые понал - нанотехнология будет опираться на самые лучшие магические квадраты! Я сам давно ими увлекаюсь и пытаюсь популяризировать эту математическую головоломку.
Удачи Вам в Новом Году!

Меня восхитил метод построения идеальных магических квадратов с помощью латинских квадратов. Вот уже третий месяц пишу об этом методе, а он всё больше меня захватывает.
Если кто-то хочет посмотреть, приглашаю сюда
http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm
и далее по порядку.
А кто-нибудь знает методы построения ортогональных латинских квадратов? Мне не удалось построить ортогональный квадрат к одному обобщённому латинскому квадрату. Не знаю даже, можно ли его построить.

		Громов писал(а):      Идеальные магические квадраты бывают только нечетного порядка, начиная с n=5.

Господин Громов, почему вы так считаете? Существуют также идеальные магические квадраты чётно-чётного порядка n=4k, k=2, 3, 4... Смотрите, например,
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

Для тех, кто интересуется магическими квадратами, сообщаю: написана большая обзорная статья "Методы построения магических квадратов". Смотрите http://www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm
Ещё построены совершенно новые идеальные магические квадраты порядка n = 8k, k=2, 3, 4, ... - сотовые идеальные квадраты. Всё о магических квадратах вы найдёте в книге "Волшебный мир магических квадратов": http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Очень хотелось бы получить серьёзные критические замечания.

		Громов писал(а):   В начале 20 столетия в среде математиков бытовало мнение, что невозможно построить пандиагональный магический квадрат нечетного порядка, кратного трем. Это – порядки 9, 15, 21, 27, … .      Общий метод построения идеальных магических квадратов был получен лишь в конце 2007 года Г.Александровым.

На форуме http://dxdy.ru/topic12959.html выложен очень интересный цикл статей "Аатомия магических квадратов" из журнала "Recreational Mathematics". Цикл статей был опубликован в 1938-1945 гг.
На стр. 206-207 этих публикаций приведён общий метод построения идеальнных магических квадратов 15-го порядка (а чуть раньше то же самое для идеальных квадратов 9-го порядка). Это метод латинских квадратов, то есть построение идеального магического квадрата из пары ортогональных латинских квадратов.
Так что общий метод построения идеальных магических квадратов нечётных порядков кратных 3 был известен задолго до 2007 года.

Всем любителям магических квдаратов!
Берите здесь
http://narod.ru/disk/5737960000/Magic_squares.pdf.html
книгу "Волшебный мир магических квадратов".
Пожалуйста, пишите свои вопросы, замечания, пожелания.

Здравствуйте, уважаемые коллеги!
Что-то здесь полнейшая тишина.
А я недавно привела пример применения магических квадратов по указанной Александровым ссылке (см. вначале этой темы) на форуме Портала Естественных Наук:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=8490
так мне там говорят, что нет здесь никаких магических квадратов и их применения! Я в полном недоумении! Как же нет, когда о них прямо написано в статье и на иллюстрации они приведены?
Не может ли кто-нибудь поддержать меня на указанном форуме? Я там воюю в полном одиночестве. Александров высказался как-то очень неопределённо и вообще в данный момент покинул форум.
Пожалуйста, приходите на форум и выскажите своё мнение по этому вопросу.