Эврика! Дом творческих и вдумчивых людей
Добро пожаловать на первый в Латвии мультитематический и межвузовский научный портал!

Сделать стартовой
Добавить в избранное
Контакты
 
   Главная      Эврика      Библиотека      Досуг      Контакты     БДС  

 

Разделы форума

Новые сообщения   Логин   Регистрация
Список персон   

Математика : Операции над множествами+булевы операции

Новое сообщение  -1-  
АвторСообщение
Trikster
Добавлено: 2005-07-25 Mon 12:24Ответить
Чупакабра - козий вампир



Зарегистрирован: 2005-03-03

Сообщений: 142

Уважаемые математики!
Меня уже давно занимает одно любопытное совпадение в математике: алгебра множеств и алгебра булевых высказываний формально совпадают. Все операции над множествами и булевы операции подчиняются одним и тем же законам, например, законам де Моргана.

Однако я не вижу объяснения этому совпадению, никакого сущностного родства между высказыванием и множеством. Или его в формальных алгебрах может и не быть?

___________________

Я знаю, что говорю, говорю то, чего не знаю.

Random
Добавлено: 2006-02-16 Thu 13:43Ответить
Жрец, плут и конкистадор



Зарегистрирован: 2005-01-31

Сообщений: 744

К сожалению, не могу ответить на твой вопрос, Трикстер. Пишу для того, чтобы сделать предложение: давайте в этой теме (чтобы не открывать другую) обсуждать свойства разных алгебр вообще. Не будем сужать взгляд на булевой алгебре и алгебре множеств, от широты взгляда мы только выиграем.

Просто у меня появилась мысля про алгебру погрешностей, которая может быть кому-нибудь интересна и вдохновит его/её на еще какую-нибудь мысль. В алгебре погрешностей есть абсолютная и относительная погрешности:

П<абс>(x) = x - x0,

где x - полученное значение, x0 - точное значение.

П<отн>(x) = ( П<абс>(x) / x0 ) * 100%

И определены операции над погрешностями:

П<абс>(a±b) = П<абс>(a) + П<абс>(b)

П<отн>(a * b) = П<отн>(a) + П<отн>(b)
П<отн>(a / b) = П<отн>(a) + П<отн>(b)

П<отн>(a^n) = n * П<отн>(a)

y=f(x), П<абс>(y) ~~ |f'(x0)| * П<абс>(x)

Я бы добавил к этому еще одну операцию, на том основании, что погрешность сама может быть определена с некоторой погрешностью. Например, 22/7 с некоторой погрешностью выражает число pi, однако и дробь, и pi являются бесконечными дробями, следовательно, точно определить погрешность не представляется возможным. Поэтому в общем случае возможна запись вида:

x = x0 ± ( П<абс>(x) ± [ П<абс>(П<абс>) ± ... ] )

Можно сказать, что точное значение - это мат. ожидание, тогда погрешность определяет возможный разброс значений. Я сформулировал бы такое правило:

П<абс>(x) ± П<абс>(П<абс>) = П<абс>(x) + | П<абс>(П<абс>) |

то есть погрешность A на погрешности B просто увеличивает границы погрешности B. Поскольку П<абс>(П<абс>) тоже раскладывается в соответствии с данным правилом, то это правило в общем виде можно сформулировать в виде е (назовем это "суммой раскладывания", а правило "правилом распаковывающейся суммы"). С некоторого момента слагаемые этого ряда в обычном случае должны оказаться равными нулю, поэтому интервал погрешности перестает расти. Однако если одно слагаемое равно нулю, это не гарантирует, что все последующие слагаемые тоже нулевые.

___________________

Жизнь как виноградный сок. Терпкая, сладкая с кислинкой.

E-mail  
Sophist
Добавлено: 2006-02-17 Fri 14:49Ответить
Любимое дитя Вселенной :-)



Зарегистрирован: 2005-04-14

Сообщений: 351

 
  Trikster писал(а):
Однако я не вижу объяснения этому совпадению, никакого сущностного родства между высказыванием и множеством. Или его в формальных алгебрах может и не быть?
 
 

Позвольте, разве булева алгебра не частный случай алгебры множеств? На множестве B = {0; 1} или {<истина>; <ложь>}.

___________________

Жизнь удалась! :)

E-mail  
Sophist
Добавлено: 2006-02-17 Fri 14:53Ответить
Любимое дитя Вселенной :-)



Зарегистрирован: 2005-04-14

Сообщений: 351

 
  Random писал(а):
В алгебре погрешностей есть абсолютная и относительная погрешности:
 
 

Я недопонял: что является носителем этой алгебры: множество из двух элементов {П<абс>;П<отн>} или два соответствуюих им непрерывных множества?

 
  Random писал(а):
Можно сказать, что точное значение - это мат. ожидание, тогда погрешность определяет возможный разброс значений.  
 
 

Мат. ожидание чего? Какой случайной величины?

___________________

Жизнь удалась! :)

E-mail  
Trikster
Добавлено: 2006-02-17 Fri 14:56Ответить
Чупакабра - козий вампир



Зарегистрирован: 2005-03-03

Сообщений: 142

 
  Sophist писал(а):
Позвольте, разве булева алгебра не частный случай алгебры множеств? На множестве B = {0; 1} или {<истина>; <ложь>}.
 
 

Смотрите, что получится!

А = {0;1}
B = {0;1}

Результаты операций:

AЩB = {0;1}
AЪB = {0;1}

___________________

Я знаю, что говорю, говорю то, чего не знаю.

Sophist
Добавлено: 2006-02-17 Fri 14:59Ответить
Любимое дитя Вселенной :-)



Зарегистрирован: 2005-04-14

Сообщений: 351

Меня, в свою очередь, занимает другой любопытный факт. Древние греки, как известно, не знали алгебры. Они оперировали с длинами отрезков как с числами. При этом квадрату (второй степени) числа соответствовала площадь квадрата, построенного на данном отрезке. Третьей степени -- объем куба, четвертых и выше они не знали.
Здесь важно, что длина, площадь и объем -- суть величины несравнимые, величины разных порядков.
Однако мы пользуемся алгеброй, и для нас любая степень числа -- величина того же рода, что и само число. Так, получается, несравнимость величин относительна и может быть снята переходом к изоморфной системе? А нельзя ли распространить такой подход и на другие алгебры?

___________________

Жизнь удалась! :)

E-mail  
Trikster
Добавлено: 2006-02-17 Fri 15:03Ответить
Чупакабра - козий вампир



Зарегистрирован: 2005-03-03

Сообщений: 142

Булева алгебра - частный случай обычной алгебры, просто все вычисления по модулю 2. Есть такие свойства:

четное * четное = четное
четное * нечетное = четное
нечетное * нечетное = нечетное

Поставьте вместо "четного" 1 и вместо "нечетного" 0 и получите булеву операцию OR!

четное + четное = четное
четное + нечетное = нечетное
нечетное + нечетное = четное

А это булева операция XOR!

1 - четное = нечетное
1 - нечетное = четное

А это NOT!

Вот пожалуйста и базис, через который можно выразить все другие булевые операции.

___________________

Я знаю, что говорю, говорю то, чего не знаю.

Sophist
Добавлено: 2006-02-17 Fri 15:04Ответить
Любимое дитя Вселенной :-)



Зарегистрирован: 2005-04-14

Сообщений: 351


___________________

Жизнь удалась! :)

E-mail  
Sophist
Добавлено: 2006-02-17 Fri 15:17Ответить
Любимое дитя Вселенной :-)



Зарегистрирован: 2005-04-14

Сообщений: 351

 
  Trikster писал(а):
 
  Sophist писал(а):
Позвольте, разве булева алгебра не частный случай алгебры множеств? На множестве B = {0; 1} или {<истина>; <ложь>}.
 
 

Смотрите, что получится!

А = {0;1}
B = {0;1}

Результаты операций:

AЩB = {0;1}
AЪB = {0;1}
 
 

Тогда так: на множестве {Ж; U}

___________________

Жизнь удалась! :)

E-mail  
Random
Добавлено: 2006-02-17 Fri 16:36Ответить
Жрец, плут и конкистадор



Зарегистрирован: 2005-01-31

Сообщений: 744

 
  Sophist писал(а):
Я недопонял: что является носителем этой алгебры: множество из двух элементов {П<абс>;П<отн>} или два соответствуюих им непрерывных множества?
 
 

Например, множество вещественных чисел.

 
  Sophist писал(а):
Мат. ожидание чего? Какой случайной величины?
 
 

Икса, значение которого определяется с той или иной погрешностью. В результате вычисления значение икса может варьироваться в интервале, который определяется погрешностью.

___________________

Жизнь как виноградный сок. Терпкая, сладкая с кислинкой.

E-mail  
   -1-  





© Павел Гуданец 2004-2023 гг.
 инСайт

При информационной поддержке:
Институт Транспорта и Связи